¿Qué son los conjuntos matemáticos y los diagramas de Venn?


Matemáticamente, un conjunto es una colección o lista de objetos. Los conjuntos no sólo están compuestos de números, sino que pueden contener cualquier cosa, incluso:

  • la comida en su refrigerador;
  • los planetas en el sistema solar;

Aunque los conjuntos pueden contener cualquier cosa, a menudo se refieren a números que encajan en un patrón o que están relacionados de alguna manera, como el:

  • conjunto de números pares positivos menores de 10: (0, 2, 4, 6, 8);
  • conjunto de factores para el número 12: (1, 2, 3, 4, 6, 12).

Notación de conjuntos

Los objetos de un conjunto se denominan elementos y las siguientes notaciones o convenciones se utilizan con los conjuntos:

  • Las letras mayúsculas simples se utilizan para identificar conjuntos – tales como J, E, o F;
  • Las letras minúsculas o los números se utilizan para los elementos de un conjunto;
  • Las llaves enroscadas { } denotan una lista de elementos en un conjunto;
  • Las comas se utilizan para separar los elementos del conjunto.

Por lo tanto, los ejemplos de notación de conjuntos serían:

J = {júpiter, Saturno, Urano, Neptuno}

E = {0, 2, 4, 6, 8};

F = {1, 2, 3, 4, 6, 12};

Orden y repetición de elementos

Los elementos de un conjunto no tienen que estar en ningún orden en particular, por lo que el conjunto J de arriba también podría escribirse como:

J = {saturno, júpiter, neptuno, uranio}

o

J = {neptuno, júpiter, uranio, Saturno}

Los elementos de repetición tampoco modifican el set:

J = {júpiter, Saturno, Urano, Neptuno}

y

J = {júpiter, Saturno, Urano, Neptuno, Júpiter, Saturno}

son el mismo conjunto porque ambos contienen sólo cuatro elementos diferentes: júpiter, saturn, uranus y neptuno.

Juegos y elipses

Si hay un número infinito — o ilimitado — de elementos en un conjunto, se usa una elipsis (…) para mostrar que el patrón del conjunto continúa para siempre en esa dirección.

Por ejemplo, el conjunto de números naturales comienza en cero, pero no tiene fin, por lo que se puede escribir en el formulario:

0, 1, 2, 3, 4, 5, }

Otro conjunto especial de números que no tiene fin es el conjunto de enteros. Sin embargo, dado que los números enteros pueden ser positivos o negativos, el conjunto utiliza elipses en ambos extremos para mostrar que el conjunto continúa para siempre en ambas direcciones:

…. , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …. }

Otro uso de las elipses es rellenar el centro de un conjunto grande como:

0, 2, 4, 6, 8, …, 94, 96, 98, 100}

La elipsis muestra que el patrón -sólo números pares- continúa a través de la sección no escrita del conjunto.

Lances especiales

Los juegos especiales que se utilizan con frecuencia se identifican mediante letras o símbolos específicos. Estos incluyen

  • Ø o { } – el conjunto vacío – un conjunto que no contiene elementos ;
  • U – el conjunto universal – un conjunto que contiene todos los elementos relativos a una determinada definición de conjunto ;
  • Z – el conjunto de todos los enteros: Z = { …. , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, };
  • N – números naturales (enteros positivos): N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …. }.

Lista de métodos vs. métodos descriptivos

Escribir o listar los elementos de un conjunto, como el conjunto del interior o terrestre planetas en nuestro sistema solar, se denomina roster notation o el roster method.

T = {mercurio, venus, tierra, marte}

Otra opción para identificar los elementos de un conjunto es usar el método descriptivo , que usa una sentencia o nombre corto para describir el conjunto:

T = {los planetas terrestres}

Notación del Set-Builder

Una alternativa a la lista y a los métodos descriptivos es utilizar set-builder notation, que es un método abreviado que describe la regla que siguen los elementos del conjunto (la regla que los hace miembros de un conjunto particular) .

La notación Set-builder para el conjunto de números naturales mayores que cero lo es:

{x | x ∈ N, x> 0}

o

{x : x ∈ N, x> 0}

En la notación de set-builder, la letra “x” es una variable o marcador de posición, que puede ser reemplazada por cualquier otra letra.

Caracteres abreviados

Los caracteres abreviados que se usan con la notación set-builder incluyen:

  • La barra vertical o dos puntos ( | o : caracteres) – son separadores leídos como de tal manera que;
  • El carácter epsilon en minúsculas ( – se lee como es un elemento de;
  • El carácter – se lee como no como un elemento de.

Así, {x | x ∈ N, x> 0} se leería como:

“El conjunto de todos x, de tal forma que x es un elemento de el conjunto de números naturales y x es mayor que 0.”

Juegos y Diagramas de Venn

Un diagrama de Venn — a veces referido como un diagrama de conjunto — se usa para mostrar las relaciones entre los elementos de diferentes conjuntos.

En la imagen de arriba, la sección superpuesta del diagrama de Venn muestra la intersección de los conjuntos E y F (elementos comunes a ambos conjuntos).

A continuación se enumera la notación de set-builder para la operación (la “U” invertida significa intersección):

E ∩ F = { x || x ∈ E , x ∈ F }

El borde rectangular y la letra U en la esquina del diagrama de Venn representan el conjunto universal de todos los elementos considerados para esta operación:

U = { 0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12}

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